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动力学

约 1230 个字 25 张图片 预计阅读时间 4 分钟

课程

  • 作业/小册 提交时需要手写签名
  • 教材: 东南大学 / 上海交大 / 清华大学 物理学教材

矢量(二维)积分与标量(一维)同样道理

矢量一般写成分量形式: 多少倍的 \(i\) + 多少倍的 \(j\)

知道 \(i和j\) 是啥就行, 其他都照常计算, 该咋咋

圆周运动

\(\theta\): 角坐标

角加速度 \(\beta = \frac {d\omega}{dt}\)

角速度: 右手定则

\(a_t =\frac{dv}{dt} = \beta R\)

\(v = \omega × R\)

\(a_t = \beta × R\)

\(a_n = \omega × (\omega × R)\)

相对运动

伽利略变换

在经典力学中, \(t = t'\) , 绝对速度\(v\) = 牵连速度\(u\) 与 相对速度\(v'\) 的 矢量和

加速度, 位移同理

解题: 用"相对运动 + 水平竖直分解", 需要习惯多少倍的 \(i\) + 多少倍的 \(j\) 的书写形式

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"落回抛出点": 在地面系中竖直上抛 \(\Leftrightarrow\) 水平速度 = 0

质量/牛2牛3

质量测量: 利用动量守恒

\(F = \frac{dP}{dt}\) : 高速状态也适用

\(F = m \frac{dv}{dt}\)

\(F = ma\)

牛顿第二定律:

  • 仅适用于惯性系中的质点
  • 建立了一种瞬态关系

惯性质量 & 引力质量

重力

是物体在地球参考系中, 万有引力和自转产生的离心力的合力

弹性力

只有当绳子质量可忽略, 绳上的弹力才相等

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答案

思路：取 \(\theta\) 处的线元受力分析，切向法向分解列平衡，积分，忽略小量

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非惯性系中的力学规律

在非惯性系中, 牛顿定律不成立, 引入惯性力 \(F_I\), 使得牛顿定律成立

重力: 指向地心的万有引力和垂直于转轴向外的离心力合力

要识别非惯性系，并学会用惯性力！

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答案

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动量定理/动量守恒

质点系动量定理

作用力反作用力，冲量是矢量，抵消

\[p = \sum p_i，F = \sum F_i，\sum F dt = \sum p\]
\[\int _{t_0}^tFdt = p - p_0 质点系动量增量 = 合外力冲量\]

与内力无关

牛顿定律和动量定理只适用于惯性系，动量守恒也适用于高速/微观

动量守恒定律：合外力为零；某一方向上同样适用

方法

当式子中有不好处理的多个小量时，考虑合并！

  • \(\frac{dx}{dt} = v\) 之类的

如果发现只有单个小量，不好处理，看看自己式子列的对不对，有没有落下什么东西，或者继续化简 / 变形之类的

质心参考系

要求：质心与惯性系只有相对平动

特点：

  • 原点在质心，\(v_c = 0\)
  • 总动量 = 0

质点系相对地面的运动 = 随质心整体运动 + 各质点相对质心的运动

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\[I = v_c * m \]

在某一方向上受力为零，说明质心坐标在该方向上不变

看看火箭公式~

功

功是标量，大小与路径有关

动能变化量与惯性系的选择有关，动量变化量与惯性系的选择无关

功能原理：外力做功和非保守内力做功之和等于系统机械能增量

只适用于惯性系，非惯性系要加上惯性力做功

保守力做功只决定于始末态的位置，而与路径无关，即环路积分 = 0

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角动量L / 力矩M / 角动量定理&守恒

角动量

定义：位矢 叉乘 动量

\[L = r × p\]

力矩

定义：位矢 叉乘 力

\[M = r × F\]

角动量定理

这是质点的角动量定理

\[M = \frac{dL}{dt}\]
\[\int _{t_0}^t M dt = L - L_0\]
\[\int _{t_0}^t M dt称为冲量矩\]

角动量守恒定律

内容：对某一固定点若质点所受合力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒

注意 “对某一固定点”

也有分量式

刚体力学

\[\theta \Leftrightarrow x\]
\[\omega \Leftrightarrow v\]
\[\beta \Leftrightarrow a\]

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刚体定轴转动定律

物理量：

  • 角位移 \(\theta\)
  • 角速度 \(\omega\)
  • 角加速度 \(\beta\)

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对于刚体，的转动，用这个

\[定律内容：M = J \beta\]

\(J\) 为转动惯量

\[J = \int r^2 dm\]
\[平行轴定理 \; J = J_C + mh^2\]
\[垂直轴定理 \; J_z = J_x + J_y\]

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回转半径

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能量

\[E_k = \frac12 J \omega ^2\]

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记忆

动能 \(\frac12 m v^2\) \(v = \omega r\) \(J = mr^2\) 所以可以推过去，为什么用 \(J\)？因为是刚体，要积分，\(J\) 就是积出来的

\[E_k = \frac12 J_c \omega ^2 + \frac12 m v_c^2\]

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证明

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\[力矩的功\; A = \int_{\theta_0}^\theta M d \theta\]
\[力矩的功率\; P = M \omega\]
\[动能定理\; A = \frac12 J \omega^2 - \frac12 J \omega_0^2\]

动量

\[L = J \omega\]

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\[\int _{t_0}^t M dt = J\omega - J_0\omega_0\]

刚体的平面运动

刚体的平面运动均可分解成随质心的平动和绕质心轴的转动

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\[动能 E_k = \frac12 mv_c^2 + \frac12 J \omega^2\]

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