方法总结

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跟着感觉走

对矩阵分块方法的感觉，对矩阵的秩的理解领悟，决定了线性代数的高度

矩阵行列式¶

行列式的求解方法¶

1. 定义¶

core：消出0！！！

提示： - 行标/列标正序，另一个的逆序数：行列等价 - 注意-1的逆序数次方 - 三阶：捺-撇

1.1化为上三角¶

右上or左下：主对乘积
右下or左上：

——>简化消0过程，找平衡

2. Laplace 定理¶

用处： 0成片出现 or 0很多核心方法：以0多的列（行）为基准，先把它划上，再选合适数量个行（列），形成子式and余子式易错点：有且仅有余子式需要* pow（-1，划去的所有行标和+所有列标和）：变代数余子式子式不要，余子式别忘

3. 爪形¶

4. 镶边法¶

矩阵与行列式的关联¶

矩阵是表，行列式是值矩阵的初等变换：行变换，列变换，包括互换、倍乘、倍加，秩不变，矩阵不讨论值

行列式的变换： 1. 转置，值不变 2. 互换（行or列），值相反推论：两行相等or成倍：值为0 3. 倍乘：c乘某一行or列：值变c倍 4. 分拆：对某一行进行分拆，值为分拆后的俩的和分拆很常用！！！ 5. 倍加：值不变

矩阵的运算¶

计算¶

核心思想：

通过同乘、用逆（必须可逆矩阵）等手段，凑公式，靠到已知量上去（将所求表示成只含已知量和E的式子） 有n：

找规律，数学归纳

注意多找几个别就一个

给A*

必用$|A^*| = |A|^{(n-1)} \(，一般用来求$|A|\)：接下来
- 证可逆
- 运算过程中有$|A|$，要用其值
必用$A × A^*=|A| × E$：可以两边同乘创造出来它

矩阵求逆¶

证明矩阵可逆：

思路1：设其逆矩阵，想办法求出来他，在求解过程中一些取逆操作会用到题目条件

例题：

矩阵的分块¶

条件：

原来A列数 == B的行数：分块之前可以乘
前面列分块方式和后面行分块方式一样（若抽象阵，乘进去看每块乘积有意义即可）

方法

左的列分块方式 == 右的行分块方式
目标：想办法分出来特殊矩阵：零矩阵、单位阵、数量阵、三角形

步骤

前列 + 后行 ——>方法1(原则) + 方法2（开始朝着目标凑）
前行、后列 ——>方法2（接着朝着目标凑）

$AXB = C$ 求$X$ 1. $A^{-1}(A$ $C)$ = $(E$ $A^{-1}C)$ 2. $\begin{pmatrix} B\\A^{-1}C\\ \end{pmatrix}$ $B^{-1}$ = $\begin{pmatrix} E\\A^{-1}CB^{-1}\\ \end{pmatrix}$

矩阵的秩¶

与秩or箭头有关的证明题：

先用等价标准型证明对，再证一般情况（等价标准型的左P右Q）：利用其他矩阵知识（行列初等变换秩不变/乘可逆秩不变，）

例题：

线性空间¶

定义¶

证明是线性空间 / 判断是否是线性空间：加法数乘封闭 + 8条

（补一下）

秩&极大无关组&基&维数&坐标¶

坐标相同问题

具体化坐标，$X = MY = MX \Rightarrow (M - E)X = O$ ，利用向量非零条件解该齐次方程（若满秩则零向量故不满秩）。

判断问题¶

判断是基

属于空间
线性无关：等于0，解系数
可表所有：设任意，解方程

子空间¶

判断是子空间：2条

非零子集：在里面找出一个 / 一群 & 包含于大的
加乘封闭：验证即可

判断是

欧式空间¶

证明是欧式空间：4条

$(\alpha, \alpha) > 0 ，\alpha = \theta \Leftrightarrow (\alpha, \alpha) = 0$
$(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)$
$(c\alpha, \beta) = c(\alpha, \beta)$
$(\alpha + \beta, γ) = (\alpha, γ) + (\beta, γ)$

Schmidt（施密特）正交化

$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s 线性无关$

\[ \beta_1 = \alpha_1 $$ $$ \beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 $$ $$ \beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2 $$ $$ \cdots\ \cdots $$ $$ \beta_k = \alpha_k - \frac{(\alpha_k, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_k, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2 - \cdots - \frac{(\alpha_k, \beta_{k - 1})}{(\beta_{k - 1}, \beta_{k - 1})}\beta_{k - 1} \quad, 2 \le k \le s \]

何时能相似对角化以及 $P$ 的样子