Skip to content

知识体系

约 2341 个字 4 张图片 预计阅读时间 8 分钟

矩阵的运算

加减、数乘、乘法、转置

加减

  • 方法：对应位置直接相加
  • 运算律：交换律、结合律

数乘

  • 方法：乘所有
  • 运算律：结合律、分配率、变行列式则n次方
  • 区别：行列式数乘：乘一列 or 一行

乘法

  • 要求：前列 = 后行
  • 结果：（m * n） * (n * s) == (m * s)
  • 方法：(i, j) 位置：前第 i 行与后第 j 列对应相乘相加
  • 运算律： 结合律、分配率 Attention ！ 没有交换律！分左乘和右乘！
  • 乘方： 0次幂 = E
  • 重要等式：A、B均为方阵，有| AB | == | A | * | B | 意义：将矩阵的乘法与行列式（数字）的乘法关联

转置

  • 运算律： 1. 转置 2. 加减：分配率 3. 乘法 ：交换分配率 \((AB)^T = B^T A^T\) 4. 数乘：分配率 5. 行列式相等 \(|A| = |A^T|\) 6. 秩相等

  • 几种特殊对角矩阵 一般形式： 乘法：前行后列（对角矩阵与矩阵A相乘，对角矩阵在前（后），则结果为A第 i 行（列）乘对角矩阵第 i 行（列）的那个元素；即每一行（列）前面的系数相等） 数量矩阵： 乘法：相当于数乘 单位矩阵：主对角线全是1

求逆

仅对方阵

  • 定义：乘积 == E
  • 等价：可逆 <=> 非零 <=> 满秩
  • 运算：行列式分之一乘伴随阵 Attention 别忘行列式分之一！！别忘行列式分之一！！

\(A A^* = |A|E\)

\(A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}\)

伴随阵注意：
    1. 代数余子式（-1的 n 次幂，n为子式的行标 + 列标）
    2. Aij 的排布：行列反着
  • 线性方程的矩阵表示：cramer法则证明；求逆证明唯一

运算律

  • 求逆 \((A^{-1})^{-1} = A\)
  • 乘法：交换分配率 \({(AB)}^{-1} = B^{-1} A^{-1}\)
  • 数乘：分配率 $ {(cA)}^{-1} = \frac{A^{-1}}c$
  • 转置：可换顺序 \({(A^{-1})}^{T} = {(A^{T})}^{-1}\)
  • 行列式：可换顺序 \(|A^{-1}| = |A|^{-1}\)

alt text

分块

可分块的条件

运算

直接将每个小矩阵看成元素算 - 和差 - 数乘 - 乘法 - 转置：注意 整体转置 + 每个转置 - 求逆：可现推，设\(X_{ij}\)，乘法等于E

注：A可逆且 AX = O => X = O ；没有可逆条件则不行

准对角矩阵

每块都是方阵， 与对角矩阵的性质完全一样 - 加减：对应 - 乘：对应 - 行列式：连乘 - 求逆：分别变逆

初等变换&乘法的关系

  • 乘初等变换对应的初等矩阵 <=> 初等变换：“—> 变 =” 行变换<=>对应初等阵左乘原矩阵； 列变换<=>对应初等阵右乘原矩阵；
  • 初等变换和其逆向变换互为逆 换种说法：初等阵的逆矩阵为同种类型的初等阵 第一类：st-st ; 第二类：c-1/c ; 第三类： c- -c

  • 可逆的充要条件们

  • 求逆矩阵： A|E ——> E|A^-1

秩与运算

1. 左/右乘可逆矩阵（方阵）不改变秩

P、Q均为可逆方阵，

\[r(PA) = r(A)\]
\[r(AQ) = r(A)\]
\[r(PAQ) = r(A)\]

原理：乘可逆矩阵 == 行/列变换

2. 乘积的秩小于等于秩较小的那个的秩

\[r(AB) \le min\{r(A), r(B)\}\]

3. 二阶非标准准对角阵的秩等于对角元素的秩之和

  • 备注：“非标准准对角阵”指分块后形式与准对角阵相似，但其中的元素不一定是方阵
\[C = \begin{pmatrix} A&O\\O&B \end{pmatrix} or \begin{pmatrix} O&A\\B&O \end{pmatrix},则r(C) = r(A) + r(B)\]

证明：alt text

4. 和的秩小于等于秩的和

\[r(A + B) \le r(A) + r(B)\]

证明：alt text

5. 两方阵积的秩大于等于秩的和减阶数

\[A、B为方阵，r(AB) \ge r(A) + r(B) - n \]

6. 三方阵积的秩大于等于前两个积的秩加后两个积的秩减中间的秩

\[A、B、C为方阵，r(ABC) \ge r(AB) + r(BC) - r(B)\]

7. 补充

alt text

线性空间

定义&基本性质

“数域P上的一个线性空间”

先定义 “加法” “数乘” 两个运算，再满足8条

  1. 加法交换
  2. 加法结合
  3. 存在 \(\theta\)
  4. 存在负元素
  5. 数乘1不变
  6. 数乘结合
  7. 数乘分配1
  8. 数乘分配2
详细版

  1. 闭性条件
    对于集合 \(V\) 中任意的 \(u, v \in V\)，有：
    $$ u + v \in V $$ 即向量加法封闭。

  2. 数乘封闭性
    对于集合 \(V\) 中任意的 \(u \in V\) 和标量 \(c \in \mathbb{R}\)（或 \(\mathbb{C}\)），有：
    $$ c \cdot u \in V $$

  3. 加法交换律
    对于集合 \(V\) 中任意的 \(u, v \in V\)，有：
    $$ u + v = v + u $$

  4. 加法结合律
    对于集合 \(V\) 中任意的 \(u, v, w \in V\)，有：
    $$ (u + v) + w = u + (v + w) $$

  5. 加法的零元
    存在一个零向量 \(0 \in V\)，使得对于任意的 \(u \in V\)，有：
    $$ u + 0 = u $$

  6. 加法的逆元
    对于集合 \(V\) 中任意的 \(u \in V\)，存在一个向量 \(-u \in V\)，使得：
    $$ u + (-u) = 0 $$

  7. 数乘分配律（标量加法）
    对于集合 \(V\) 中任意的 \(u \in V\) 和标量 \(a, b \in \mathbb{R}\)（或 \(\mathbb{C}\)），有：
    $$ (a + b) \cdot u = a \cdot u + b \cdot u $$

  8. 数乘分配律（向量加法）
    对于集合 \(V\) 中任意的 \(u, v \in V\) 和标量 \(a \in \mathbb{R}\)（或 \(\mathbb{C}\)），有：
    $$ a \cdot (u + v) = a \cdot u + a \cdot v $$

  9. 数乘结合律
    对于集合 \(V\) 中任意的 \(u \in V\) 和标量 \(a, b \in \mathbb{R}\)（或 \(\mathbb{C}\)），有：
    $$ a \cdot (b \cdot u) = (a \cdot b) \cdot u $$

  10. 单位标量作用
    对于集合 \(V\) 中任意的 \(u \in V\)，有：
    $$ 1 \cdot u = u $$

理解

  1. 这俩运算不是普通的加法 & 乘法，要顺着题目定义走

  2. 定义两个运算的目的是为下面8条打基础，若无运算何来8条？

数域中的元素叫做向量，所以，线性空间 也称作 向量空间

性质

  • θ唯一
  • -α唯一
  • 0α = cθ = θ
  • -α = (-1)α
  • cα = 0 \(=>\) c = 0 or a = θ

定义了减法运算

转化关系

任意空间的向量组 ——(常用)基——> \(P^n\) 空间的列向量组(矩阵)

推广：任意空间的向量组 ——任意无关组——> \(P^n\) 空间的列向量组(矩阵)

则：任意空间的性质 / 概念 / 方法 ————>\(P^n\)空间的性质 / 概念 / 方法

线性表示&线性相关

二者关系

基本等价

一群线性相关 \(<=>\) 其中一个可以被剩下的线性表示

一群线性无关 \(<=>\) 任意一个都不可以被剩下的线性表示

线性表示

定义：一个能被一群线性地表示

\(P^n\)空间与线性方程组

线性表示 = 非齐次线性方程组 = 相应矩阵 ：

一群 = 系数矩阵；一群加一个 = 增广矩阵

表示系数 = 方程组的解

有解 = 可表示；无解 = 不可表示

系数矩阵的秩 & 增广矩阵秩 & 列向量个数 三者关系 ~ 方程组解的情况 ~ 是否可表示

线性相关

定义：线性和 = θ 不仅有唯一0解

\(P^n\)空间与线性方程组

线性相关 = 齐次线性方程组 ：

基本同上：解的情况 ~ 相关性（可否表示） ~ 矩阵的秩 ~ 行列式的值 ~ 是否可逆

性质：

  1. $ θ <=> 相关 $

  2. 部分相关，整体相关

    2.5 整体无关，部分无关

  3. 包含\(θ\)的相关

  4. 原组无关，接长组无关

    4.5 原组相关，截短组相关

  5. 原组无关，补一个向量则相关，那么补上的那个可以被原来的那些唯一表示

  6. \(P^n\)空间的含 \(n + 1\) 个向量的向量组相关

向量组的线性表示&等价

定义：

表示：\((\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3\ \dots\alpha_s\ ) = (\beta_1\ \beta_2\ \beta_3\ \dots\beta_s\ ) M\)

以上为合成形式写法，实际上是 \(\alpha\) 中每个列向量都用 \(\beta\) 向量组乘列向量表示

可表示：看秩：\(r(原) = r(原 补)\)

等价：互相表示

性质

  • 多用少表示则多相关
  • 无关组可以被表示则其向量个数少
  • 等价两无关组向量个数相同

极大线性无关组 & 秩

方法

化阶梯，选阶梯头所在列

性质

数量相同

向量组的极大无关组等价于该组

一个无关组一定可以扩充为一个极大无关组

方法

右补单位阵，化阶梯，按阶梯头选出极大无关组

无关的一组向量，秩为数量，自己就是极大无关组

秩：矩阵三秩相等

基 维数 坐标 过渡矩阵

维数 == 秩

基 == 极大无关组的一种有序排列

坐标 == 在基下的表示向量

过渡矩阵：

\((\beta_1\ \beta_2\ \beta_3\ \dots\beta_s\ ) = (\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3\ \dots\alpha_s\ ) M\)

\(基\alpha 对应的坐标是 x\)， $ \beta 对应 y$，则

\(x = My\)

用常用基将其他空间转化为向量空间！，常见空间的常用基：

  • \(P^n\) 空间：n个列向量，每个位置分别是1

  • \(P^{m * n}\) 矩阵：每个位置分别1，共 $m * n $个

  • 多项式空间：\((1, x, x^2, x^3, \cdots x^{n - 1})\)

子空间

判断

非空子集（关键是证明存在一个属于他） + 加法乘法封闭

\(P^n\) 空间中一些向量线性组合成扩张子空间即\(span(向量组)\)，他是包含这些向量的最小的子空间

方程组解的结构

齐次

基础解系 = 解空间的基

自由未知量数 = 基数，即 $dimW_0 = n - r $

基础解系的证明

  • 是方程组解
  • 无关
  • 数量 = 维数 / 秩

表示

\(\sum\) 自由未知量的值为系数 \(*\) 列向量

非齐次

特解 + 导出组的基础解系的线性组合

颜色主题调整