方法总结

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极限¶

极限的证明问题¶

思想¶

• 目标意识
• 不等号意识(证明题)
  • 按着不等号方向寻找下一步思路/方向（我需要哪个方向的不等号，在条件/之前的里面找）

方法——定义法¶

本质¶

用各种方法，化简至可求\(δ(ε)\) or \(X(ε)\)，求出它就行。

类型1：化简至\(n\) or \(x\)的简单的式子即可

类型2：化简至\(k|x - x_0|\)形式

即，要么去用双侧不等式绝对值号，要么保留绝对值结构

类型1. 数列极限 & \(x \to\infty\)型函数极限¶

方法： 1. 想定义，结构对应 2. 相减，列不等式ε & x or n 3. 放缩 4. 求出定义中的N or X

例题：上册P32、P53课后习题

类型2. \(x \to x_0\)型函数极限¶

常规：

方法： 1. 列不等式 2. 重点：随便找一个常数\(c\)(半邻域的长度即 \(δ\))，利用\(x\)属于邻域，框定\(x\)的范围 3. 核心：用该范围放缩不等式（有目标意识不等号意识），使之变成\(k|x - x_0|\)形式 4. 用邻域，代入\(δ\)，求出\(δ(ε)\) 5. 取\(δ = min\{δ(ε), c\}\)

例题：上册P53课后习题

其他题型：

核心/本质不变：放缩一开始列出来的不等式（有目标意识不等号意识），使之变成\(k|x - x_0|\)形式

极限的求解方法¶

理解¶

几乎全在极限值的ε邻域内 ——P20 ^251156

公式¶

极限¶

1. \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]

（说明：仅当 \(0/0\) 型时可用）

2. \[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\]

\(\(\lim_{x \to 0} \left(1 - x\right)^{\frac{1}{x}} = e^{-1}\)\) （说明：必须满足 \(1^\infty\) 型）

1. \[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\]

证明：

\(\lim_{x \to 0} \ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} = \ln e = 1\)

2. \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\]

证明：

令 \(t = x\), 则 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1\)

3. \[\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a \quad (a > 0, a \neq 1)\]

证明：

$ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a} - 1}{x} = \ln a \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} = \ln a \cdot 1 = \ln a $

5. \[\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha \quad (\alpha \in \mathbb{R})\]

证明：

$ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{x} = \alpha \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \alpha \cdot 1 = \alpha $

总结公式：

• \[\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e\]
• \[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\]
• \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\]
• \[\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a\]
• \[\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha\]

等价无穷小¶

• \(\sin x \sim x \quad \arcsin x \sim x\)
• \(\tan x \sim x \quad \arctan x \sim x\)
• \(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)
• \(\ln(1 + x) \sim x \quad e^x - 1 \sim x\)
• \(\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{n}\)
• \((1 + x)^\alpha \sim 1 + \alpha x\)

幂指函数极限¶

核心：

若

则

证明：

$ \lim_{x \to x_0} u(x)^{v(x)} = \lim_{x \to x_0} e^{v(x) \ln u(x)}
= e^{\lim_{x \to x_0} v(x) \ln u(x)} $

又因 \(\lim_{x \to x_0} v(x) \ln u(x) = b \ln a\)，得

$ \lim_{x \to x_0} u(x)^{v(x)} = e^{b \ln a} = a^b $

特别地： 当 \(u(x) \to 1, v(x) \to \infty\) 时，即\(1^\infty\)型

等价无穷小：

• 只有要替换的内容是无穷小才可用：想用之前一定要检查一下是不是无穷小！！！

• 只有要替换的内容是无穷小才可用：想用之前一定要检查一下是不是无穷小！！！

方法¶

复杂题目求解的一般思路¶

1. 用技巧化简式子

2. 往常见/已知模型极限上靠/化

3. 用技巧 and 下述基本方法简化式子

〇、先化简！先化简！¶

• 方法：
  • 等价无穷小
  • 换元

一、估值，再定义证明¶

• 直接法
• 放缩法
  • 目的：
    • 能算
    • 好算（含n的项少且简洁）—— 上册P19 例9、例10
  • 方法：
    • 首先搞清不等号方向
    • 具体式子放缩——用技巧，有目标，有方法
      • 项多：直接舍弃 or 变0/1/K—— 上册P19 例9、例10
    • 抽象式子放缩——用性质
      • 有界性
      • 保号性
  • 上位思想：
    1. 你放缩不能光盯着式子一直看，想着去咋放缩，（上册P23） 而应该：品味式子的结构，朝着你心里想的那个方向去写，先猜后证！ 其实你的数学感觉挺好的，所以抓住你每个感觉，想办法实现它：找到它成立的条件并尽量靠近它
    2. 本质目的：好算 所以，大胆随意放缩，咋好算咋能算咋来放完证一下是对的即可
  • 实例：
    • 三角：看目标选用
      • 泰勒公式
      • 有界性：别学了泰勒就忘了还能放成1 or -1

二、四则运算 & 变形后四则运算¶

• 注意：
  • 每个极限都存在
  • 分母不为零
  • 仅对有限项
  • 无限项：先求和，再极限

• 大胆用！将每个目测极限存在的式子提出来

• 变形方法：

  • 三角恒等变换：和差化积 积化和差！
    • 积化和差 ：乘积大法好！
      • —> 1-cos—>与x的幂等价无穷小
      • —> 有界 * 无穷小

四、利用无穷小 * 有界函数 = 无穷小¶

五、夹逼定理¶

• 核心：先猜后证
• 根据感觉or数学基本常识or对数学的理解猜出答案，再放缩找两个不等号
• 用处：

  1. 有取整函数

     利用取整的不等式

  2. 递推不等式

     反复用递推不等式放缩直到不能用为止

  3. 极限 = a < b

六、定积分定义¶

五、六 都用于n项和极限

n项乘积极限：取对数化为n项和

八、等价无穷小¶

• 注意：
  • 只有乘积 or 商时才可替换
  • 外面有指数啥的都不行，只有乘积商 ![[Pasted image 20241105101358.png]]
  • 无穷小啊 ：—>0时：检查！
  • 换时随意换
• 用处：
  • 去根号
  • 去三角

九、幂指函数极限¶

变e

十、单调有界准则¶

• 用处：
  • 用递推关系给出的数列
• 做法：
  • 法一：
    • 单调：
      • 法一：一个用递推公式换
      • 法二：两个都用递推公式换，得出an - an-1 and an-1 - an-2的关系，用数学归纳法
    • 有界：
      • 法一：随便放缩
      • 法二：数学归纳法
    • 求极限： 设极限等于x，对递推关系两边同时求极限，n—>∞时an = an-1 = x
  • 法二：（相当于放缩时有目标了）
    • 算出来极限
    • 极限和前几项比大小（看上界or下界），数学归纳法证明上界or下界
    • 证明单调：用上面求出的界
    • 求出极限（卷子上写）

注意：正负号

十二、分段函数分界点处的极限¶

方法： 先求左右极限，再用定义（左右相等则为那个值，有一个不存在则极限不存在）

十三、未定式极限 —— 基本方法 & L'Hospital法则¶

基本方法：

\(frac00\) 型

（一）、因式分解约去0因子

• 用处：有理函数
• 方法：
  • 因式：（x - x0）
  • 直到化到没有分母（每次都检查分子分母是否为零，若是则还可分，想怎么分）
• 技巧：常数的拆分

（二）、根式有理化 - 用处：根式

\(\frac{\infty}{\infty}\) 型

分子分母同时除以次数最大的无穷大使得某些项变成无穷小

条件¶

3个 1. \(lim_{x \to x_0}f(x)\) = 0 or \(\infty\), \(lim_{x \to x_0}g(x)\) = 0 or \(\infty\)

2. \(x\)属于\(x_0\) 的某去心邻域内，f'(x), g'(x)都存在，g'(x) != 0

3. \(lim_{x \to {x_0}} \frac {f(x)} {g(x)}\) = A or \(\infty\)

三个条件逐一检查，都满足才可以用

证明¶

（一）数列¶

• 题型：未定式的数列极限
• 方法：转化成函数
• 原理：海涅定理
• 注意：满足1～3条件
• 格式：最后一行

（二）函数¶

• 题型：
  • 未定式的函数极限
• 注意事项：

！先用前面求极限方法，实在不行再洛必达（不是首选）

！洛必达法则有条件，满足条件才可以用

• 条件：

1. 上下0 or \(\infty\)
2. &f 和 g 在 x_0& 去心邻域均可导

• 其他： $ 0 \cdot \infty, \quad \infty - \infty, \quad 0^0, \quad 1^\infty, \quad \infty^0. $

解法: 转化为 \(\frac{0}{0}\)或 \(\frac{\infty}{\infty}\)

转化的方法：

• 换元 例如\(\frac1x = t\)
• 硬变分式

类型：

1) 0 · \(\infty\) 型

步骤: $0 \cdot \infty \Rightarrow \frac{1}{\infty} \cdot \infty, $ 或 \(0 \cdot \infty \Rightarrow 0 \cdot \frac{1}{0}.\)

2) \(\ \infty - \infty \ \text{型}\)

步骤:
\(\infty - \infty \Rightarrow \frac{1}{0} - \frac{1}{0} \Rightarrow \frac{0 - 0}{0 \cdot 0}.\)

例:

\(\lim_{x \to \infty} \left ( x - x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \right)\)

3) 幂指函数

统一化成以\(e\)为底

\(lim_{x \to 0} \frac{a^x - a^{sinx}}{x^3}\)

\(lin_{x \to 0^+}{\frac1{x^2} - \frac1{tan^2x}}\)

\(lim_{x \to 0^+}{(\frac{1-cosx}{x^2})}^\frac1x\)

易错：

• 总结

还是多多用前面的方法啊！

泰勒公式（等价无穷小

十四、Taylor's Theorem¶

公式再看看

要点

• 用带皮亚诺型余项的泰勒公式

• 展开到出现分母的那个x的次数为止，

• 若为乘积式，则要保证第一个括号的首项乘第二个括号的末项为分母的那个x的次数 & 第二个括号的首项乘第一个括号的末项为分母的那个x的次数

技巧¶

一、换元¶

灵活换元！ t = 1/x 较常见

二、提公因式/提相同结构¶

名曰“提相同结构”：将常数提出，剩下的东西可换元 A+B = A(1 + B/A)

三、放缩反解¶

换元——反解——放缩——简化 —— 上册P19 例10

四、同除¶

分子分母同除最大的的那个

五、补项¶

目的：凑 凑已有形式—— 上册P21证明乘法 凑关系：补的项是已有项间的桥梁 凑好看的形式·，凑有利于计算的形式，凑美的式子——数学之美在于完美

六、常数的拆分¶

七、定义式绝对值¶

得到两个方向的不等号 —> 放缩/找范围用

八、取倒式¶

无穷大量 —取倒式—> 无穷小：可以用四则运算

特殊结构与代数处理¶

• 根式

  • 有限次：有理化

    例题：上册P54-8（13） - n次根式：因式分解

    相对性：1次~n次 <=> \(\frac1n\)次~1次

    例题：上册P35 例4 - 换元：\(x = t^{题目出现的所有根指数的最小公倍数}\) $ \to$ 整式 - 二项式： 操作：展开 要求：整数指数——不行就放缩＋取整（上册P23L15） 类似： n次根号：设一个（换元）再变n次根号展开（上册P19L10）

• (\(a^0\) - 1) / 0 推导方法：化e指数 —> 等价无穷小 结论：lna 化到他： t * (\(a^m\) - \(a^n\)) : 提出\(a^n\) , 外面用乘除凑1/(m - n)项，不能是加减！（乘除：那个分式再求极限，之后再用四则运算法则）

• 1 ^ 无穷大 化到他： 底数+1 -1，指数凑出+恒等变形补出剩余 剩余部分求极限：用本章别的方法

• 底与幂：同底不同幂，同幂不同底 [[Summary Of Calculus#^e6c631|提出相同结构]]

其他¶

1. \(lim=a<b\) \(=>\) \(ε=\frac{(a-b)}2\) ：取中点
2. 善用max min函数取最大or最小
3. 趋向无穷大：指数函数 > 幂函数 > 对数函数

求极限时的注意事项¶

• 注意哪个是变量哪个是常量
• 注意变量趋向于哪里
• 正负号！ x趋于-∞：换元成t = -x
• 只有要替换的内容是无穷小才可用：想用之前一定要检查一下是不是无穷小！！！

函数¶

拐点与凹凸性¶

[[Knowledge Frame of Caculus#凹凸性与拐点|点击查看知识体系]] 方法： 同极值点 —— 一阶导变二阶导即可 例题： ![[Pasted image 20241107081034.png]]

曲率¶

[[Knowledge Frame of Caculus#曲率|点击查看知识体系]] 注意：转角：直线转过的角度，不是俩直线成的任意一个角

导数¶

导数的求解方法¶

技巧¶

• 对数求导法

  • 幂指函数
  • 多因式乘积
  • 分式，分子分母包含上面俩

  分段函数在端点处导数¶

  用定义，求左右导数

反函数求导¶

严格用定义，写\({\rm d}x\)/\({\rm d}y\)，中途不要x和y交换

隐函数求导¶

法一： 两边同时对x求导 注意事项： 别忘了y是x的函数，复合函数 法二： [[Summary Of Calculus#^97a0e1|一阶微分形式不变性]]

高阶导数¶

方法： - 基本函数用公式 - 幂指对三角 - 数学归纳法 - 三角 - \(e^x\) - 乘积 - 化简成为有公式的加减 - 莱布尼茨公式：有幂函数最好：有限次导 = 0

• 构造常微分方程法

  1. 两侧求导，继续直接导会陷入无尽深渊
  2. 移项至同一侧出常微分方程，判断是否合理
  3. 若合理（无根号等使我陷入深渊的东西，纯幂函数求几次导就没了）
  4. 若不合理：再导，两个式子联立消掉不该出现的东西
  5. 递推

  例题1：\(y = arctanx\), 求\(y^{(n)}|_{x = 0}\)

  例题2：\(y = arcsinx\), 求\(y^{(n)}|_{x = 0}\)

• 泰勒公式法

参数式函数求导数¶

都用dy/dx，写上公式 都是补dt（高阶导数亦然，因为我们写的f‘ g’都是关于t的导数，所以在求二阶导时，要补出dt才能用公式） 注意：二阶导是对x导，一阶t/2千万不能二阶是1/2

极坐标方程求导¶

化参数方程再求导

求导时的注意事项¶

• 结果只能用x, y表示，若有其x', y' 等，应化成x, y
• 别忘了复合函数
• 求导前先化简，求完也要化简，但是不做要求 n阶：将X的系数整理成+1可防止套公式时出错：将-移到式子和式子之间别放在X的系数钱 高阶一定得化简 有ln一定先化简：ln自身可化简 假分式（分子次数大于等于分母） 先分离常数

![[IMG_4002.png]]![[IMG_4001.png]] ![[IMG_4003.png]] ![[IMG_4005.png]]

微分¶

微分的求解方法¶

显函数¶

法一：用导数 法二：用微分：两边同时微分， 初等函数：dy = f‘(x)dx 四则运算：导数公式中“导”换成“微”

隐函数¶

法一：先隐函数求导 法二：一阶微分不变性 两侧同时微分，但是 x和y同等地位的变量，即不再考察x和y的函数关系，对x怎样操作就对y怎样操作 eg：乘积xy：xdy+ydx ^97a0e1

隐函数某一点处的微分： 由于结果中有X和Y那么求某一点出的导数或者微分，要将那一点出的横坐标或纵坐标带入原方程解除纵坐标或横坐标

近似计算¶

微分法¶

f(x0 + Δx) = f(x0) + f'(x0) * Δx 原理：忽略了dx的高阶无穷小量 注：o(dx)实际上有，对具体函数可能看得清晰一点，但抽象的公式中并不知道它是哪算出来的，就是因为具体函数有所以补上去的

![[IMG_3998.png]] ——>取x0 = 0，Δx = x 得到的实际上是等价无穷小公式 ![[IMG_3999.png]]

泰勒公式法¶

方法 用拉格朗日型余项的 ![[Pasted image 20241106224944.png]]

中值定理¶

极值与最值¶

• 最值嫌疑点：不可导点(不可导点嫌疑点见下）、驻点、端点

  一定得是闭区间上的

• 极值嫌疑点：不可导点、驻点

极值点的判定与极值的求解¶

显函数¶

方法

简单函数：第一充分条件

普通函数：同高中

复杂函数

• 何谓复杂：导函数难求、存在不可导点（分段、导函数定义域断开）

• 做法：

  • 找不可导嫌疑点：
    • 一阶导数没定义的点
    • 分段函数的分段点
  • 列表讨论
  • 用充分条件判定
• 例题： 求函数\(f(x)=1-\frac32x^{-\frac13}\)的极值

别忘了定义：极值是局部最小值

思想：证明不是……：举反例

隐函数¶

方法

• 统一用：第二充分条件

  原因：因为\(y'\)是\(x和y\)的函数，你不知道\(x\)属于\(x_0\)左右范围时\(y'\)正负

步骤

• 求一阶导 —— 令\(y'=0\)，得\(x和y\)等式 —— 将其带入\(y\)（原函数），得到驻点的横纵坐标

• 求二阶导 —— 带入\(y',x,y\)，得到\(y''\)，第二充分条件，看正负判断极大or极小

罗尔定理¶

理解¶

等高段函数中间必有水平切线

题型一：一阶常微分方程解的存在性¶

识别

• 求证：一阶常微分方程等式，自变量是 \(\in\) 题目中那个区间的 \(ξ\)

• 条件：

  闭区间连续

  开区间可导

  再给出2个函数值\(f(x_0) = k\) ，这是用来推原函数的\(f(x_1) = f(x_2)\)

方法

1. 求证的式子变形 ——> RHS = 0 & LHS是某抽象函数的导数（==高中导函数原型构造）

2. 构造辅助函数（1. 中结果积分找原函数…）

3. 对辅助函数用罗尔

例题

题型二：方程根的个数¶

类型一：证明至多有多少个实根

方法

• 反证法：假设\(n+1\)个，每两个之间用罗尔，得到导数有\(n-1\)个根，再每两个之间用罗尔，得到二阶导有\(n-1\)个，依此类推，连续使用，直到矛盾

拉格朗日中值定理¶

一、理解 存在切线斜率 = 割线斜率 二、应用 题型一：不等式证明问题 识别： 类型一：函数值相减，变量值相减 类型二：没有相减：函数值相加 做法：减0 or 加a减a 给出几个特殊点处函数值 eg : \(f(0) = 0\) 方法： 选定区间 构造形式 从区间内找点，将其分为两个子区间，分别用拉格朗日 从结论出发，联系定理，逆推目标 例题： ![[Pasted image 20241105085005.png]] 遗失部分：\(f''(x) > 0, f(0) = 0\) ![[Pasted image 20241105092644.png]] 遗失部分：\([a,b)连续\) ![[Pasted image 20241105093345.png]] 遗失部分：\(f(a) = f(b)\) ,存在\(\xi\) 方法：区间内找点，将其分为两个子区间，分别用拉格朗日 ![[Pasted image 20241105095636.png]] 遗失部分：\([0,+\infty)二阶可导\)， \((0,a)\)取得最大值，\(f'(a)\)

柯西中值定理¶

一、理解 讨论函数比和导数比

二、应用 识别 有差，但没有\(x_1\) - \(x_2\)，有俩函数值的差 例题 ![[IMG_20241029_104215.jpg]]

泰勒定理¶

公式¶

1. 泰勒公式 - 带拉格朗日型余项 $$ f(x) = P_n(x) + R_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)}k + \frac{f^{(n + 1)}(ξ)}{(n + 1)!}(x-x_0)^{n + 1} $$ 其中，\(ξ\)属于\((x_0, x)\) or \(ξ = x_0 + θ(x - x_0)\)，\(P_n(x)\)称为泰勒多项式，\(R_n(x)\)称为拉格朗日型余项

• 带皮亚诺型余项 $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)}k + o((x - x_0)^n) $$ 其中\(o((x - x_0)^n)\)为高阶无穷小

2. 麦克劳林 - 带拉格朗日型余项

一般形式： $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{{(k)}(0)}{k!}x}k + \frac{f^{(n + 1)}(ξ)}{(n + 1)!}x^{n + 1} = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{{(k)}(0)}{k!}x}k + \frac{f^{(n + 1)}(θx)}{(n + 1)!}x^{n + 1} $$

常用公式

皮亚诺

题型一、求极限¶

公式

用皮亚诺型余项的泰勒公式

方法

步骤：

• 展几项？

  • 一部分（分子or分母）只有单项式： 另一部分出现该单项式的系数次幂为止；

    若为乘积AB：A首项 * B末项 = 该单项式系数次幂 && B首项 * A末项 = 该单项式系数次幂，决定了末项到哪 - 均为复杂式子 - 本质：求出等价无穷小 - 所以：分子分母分别展到首项出现为止：和or差式的左右两端对照着展，到那一项消不了，成为首项为止 该方法也适用于上面的情况，反正就是出首项 - 例题： 求\(lim_{x \to 0} \frac{x^2e^{2x} + ln(1 - x^2)}{xcosx - sinx}\)
    

注意事项：

• 最后一项的后面写上\(o(x^k)\)
  • 不写就是错的
  • 最后一项\(x\)是几，\(k\)就写几

题型二、近似计算¶

公式

带拉格朗日型余项的麦克劳林公式

方法

步骤：

• 公式里的\(x\)替换为要求的自变量值
• \(误差<最后一项|_{θ = 1}\)

原理：

题型三、证明题 / 难题¶

最关键的问题为什么想到用泰勒？

• 涉及〇 & 一 & 二阶导数的不等式证明题

特点

不是直接运用，不能直接看出来要用泰勒

公式

带拉格朗日型余项的泰勒公式

• 其中\(x, x_0\)代哪个值？

  见下《怎样选点》

• 展到第几项？

  题目中涉及到的最高阶导数对应的项

方法

特殊点处的函数值在特殊点处展开成泰勒公式

特殊点： - 各阶导数已知的点 - 区间端点 - 区间中点 - 题目涉及的点

怎样选点？

• 某阶导已知 —— 在该点处展开，即作为"\(x_0\)"，式中出现"\(f^{(k)}x_0\)"，

• 从求证的式子出发寻找被展开的点，即作为"\(x\)"

  • 式子左边是某点函数值（注意是函数值，n阶导数不算），大概率展开那个点

• 一些原则

  • 观察式子结构：二阶导、一阶导都是作为“在该处展开”；原函数值作为被展开的值

  • 实在想不到就试试端点、中点、某阶导已知点、跟着感觉走~

  • "\(ξ\)"，即“证明：\(\exists\)…\(\in ( )\) ”中的"…"，永远不可能作为“在该处展开”，不管是用什么字母表示的。

  • 这个"\(ξ\)" 他是与拉格朗日型余项\(R_n(x)\)中的 \(ξ\) 有关的（经过了放缩 or 取值 等操作）

  • 端点和中点的类型：

    • 操作：展两次，两式加加减减消一些你感觉需要消去的东西（主要是不知道的量什么的），端点在中点处展开 & 中点在端点处展开都试试都有可能
    • 识别：\(\frac{(a+b)}2\) or \(\frac{(a-b)}2\) 及其倒数、平方等出现时候

  • \(x\)也有可能作为被展开的那个点！这时千万不要混了\(x 和 x_0\)啊~

  • 涉及到端点的一般都要展两次，加加减减

注意事项

• 分清 \(x 和 x_0\)，展开某处 & 在某处展开

例题：

用〇阶、二阶讨论一阶，当然泰勒；问x，则x为特殊点，在这展开；展什么？端点；俩，消元

间接法求泰勒公式¶

识别

求\(x = x_0\)非0处泰勒展开

通过换元，变成：

1. 新元在0处的泰勒
2. 符合几个常见的背过的结构

求高阶导数¶

法一、泰勒公式法¶

原理

方法

1. 将函数用泰勒展开化为多项式函数
   • 注意：四则运算的函数可以分开化啊
2. 用上述原理(\(a_k = \frac{f^{(n)}(x_0)}{k!}\))找到对应项即得。

例题： 错误原因：分子分母同除了x，将所得式子展开： - 一、不知道可以分开展。 - 二、看 x or x 的函数趋于多少：出现\(\frac1x\), 他是\(+\infty\)啊怎么能。

法二、常微分方程法¶

方法：

不定积分¶

基本积分表¶

1. 常数函数积分
   $$ \int c \, dx = c x + C $$

2. 幂函数积分
   $$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$

3. 指数函数积分
   $$ \int e^x \, dx = e^x + C $$ $$ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1) $$

4. 对数函数积分
   $$ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + C $$

5. 三角函数积分
   $$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $$ $$ \int \cos x \, dx = \sin x + C $$ $$ \int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C \quad (\cos x \neq 0) $$ $$ \int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C \quad (\sin x \neq 0) $$ $$ \int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C \quad (\cos x \neq 0) $$ $$ \int \csc x \, dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C \quad (\sin x \neq 0) $$ $$ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C $$ $$ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C $$ $$ \int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C $$ $$ \int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C $$ $$ \int \sinh x \, dx = \cosh x + C $$ $$ \int \cosh x \, dx = \sinh x + C $$

6. 反三角函数积分
   $$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C = -\arccos x + C \quad (|x| \leq 1) $$ $$ \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C= -arccot x + C $$ $$ \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \, dx = \text{arcsec } x + C \quad (|x| \geq 1) $$

7. 常考 $$ \int \frac{1}{a^2+x2} \, dx = \frac1a \arctan \frac xa + C $$

用处： 分母是二次多项式，配方，凑该形式

易错¶

• 开根号带绝对值，其实不定积分默认正，定积分必须加，并需要按照角度象限判断正负。

• \(\frac1x\) 积分得 \(\ln |x|\) 积成 \(\ln\) 的一定要带 绝对值

• \(\int f(x)dx - \int f(x)dx = C\)

方法总结¶

零碎方法¶

• 分子 " \(+啥-啥\) " 凑出分母（的因式），约分化简

  使用情形：当分子与分母的一部分重合即可。

三角函数积分¶

• 三角偶数次：用倍角公式降次

两种不同类型函数乘积¶

备注： 多个函数 乘除 均算在内

步骤

1. 观察 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 有无 求导层面的 内在关联，若有：走“2. ”；若无：走“3. ”；看不出来：先走“2. ”，再看有没有关联；也可寻找该函数的其他特征用对应方法，走“4. ”

2. 凑微分法：“求导层面的关联”（详见下）

3. 分部积分法

4. 观察其他特征

多项式类函数¶

• \(纯二次幂 * 二次多项式的函数\) ：取一个一次出来凑微分，再用分部积分法

高次广义幂函数¶

方法：

1. 凑微分法 —— 操作幂

   形如 \(\int 某结构^{高次} \&某结构^{低次} \, {\rm d}x\)

2. 换元法 —— 交换次数法：

   形如 \(\int {复杂多项式}^{复杂次数} {简单多项式}^{简单次数}\) ：令 \(t = 复杂多项式\)

例题

多项式函数¶

类型与方法：

例题：

• 假分式（分子次数大于等于分母）：一定一定分离出来多项式，剩下真分式

无理函数¶

类型一

• 被积函数中含有二次根号二次根号内是一次多项式： 令 $t = \sqrt $

  其实根号并不讨厌，讨厌的是根号与其他常数相加减，故若没有相加减，另根号内部分 = t 亦可

• 被积函数中含有二次根号二次根号内是二次多项式： 配方—— 三角换元

  • \(\sqrt {a^2 + x^2}\) ： 令 \(x = a\tan t\)
  • \(\sqrt {x^2 - a^2}\) ： 令 \(x = a\sec t\)
  • \(\sqrt {a^2 - x^2}\) ： 令 \(x = a\sin t\) or \(x = a\cos t\)

类型二

分母 \(x^n \sqrt{x的多项式}\) ： 倒变换令 \(t = \frac1x\) —— 观察式子结构选用其他方法例如凑微分/三角换元

类型三

凑微分法：分母有根号，且其中 \(x\) 的表达式和 \(d\) 里面的相近or次数相同可以讲该根号凑微分

例题：

凑微分法（第一类换元法）¶

方法

核心方法：

1. 掌握老师讲的基础题目的固定操作方法
2. 其他全靠感觉 & 目测法

零碎方法

1. 形如 \(\int f(x)g(x) \, dx\) :

   把 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 分别求导，看跟另一部分有没有关联，好的话就是另一部分。

   若前一步无求得关联或者 \(f(x)\) or \(g(x)\) 较复杂，将 \(f(x)\) or \(g(x)\) 的一部分拿出来求导，看跟另一部分有没有关联。

   这里的“一部分”：跟着感觉走 & 不要那个使得导数复杂的运算符，例如 $\sqrt $ 。

   例题1：\(\int \frac{sinx cosx}{\sqrt{b^2\cos^2x + a^2\sin^2x}}\, dx\)

   例题2：\(\int \frac1{1 - x^2} ln\frac{1 + x}{1 - x} \, dx\) 答案：\(\frac14 ln^2 \frac{1 + x}{1 - x} + C\)

2. （实际为1的应用）

   一次多项式和二次多项式函数的乘积，例如 \(\int (x + 1) \sqrt{x^2 + 2x} \, dx\) ，\(\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\)将一次与 \(dx\) 凑微分

   这里其实“一次多项式”是个奇数次就行，原理就是分出来一个一次可以凑微分成二次，-1次也行, \(\frac1{x(x^2 + 1)}\)

3. \(\int 某结构^{高次} \&某结构^{低次} \, {\rm d}x\)

   将高次中拿出一部分凑微分

例题

\(\int \tan x \, dx\)

\(\int \frac {\, dx}{a^2 - x^2}\)

• 因式分解平方差降次

求 \(\int \csc x\) 的5种方法

换元法（第二类换元法）¶

方法¶

核心方法

谁讨厌就另谁 = \(t\)

这里一般（一定）要将 \(df(x)\) （变量代换后得到） 换成 \(f'(x)dx\)，再用其他方法操作；不要将这个与凑微分法中凑 \(df(x)\) 混了。

分部积分法¶

表格积分法，对应的知乎文，以及对应的论文，个人感觉论文比知乎文更好。

核心公式：

备注：

1. “反对幂三指”：反三角函数、对数、幂函数、三角函数、指数函数

2. 男上女下实际上是“反对幂三指”前上后下

3. 斜线乘积：乘积连带正负号写入结果

4. 竖线积分：最后一列的上下乘积式的积分

5. 上导下积何时结束？

   竖线积分好积时：例如到0，再如“竖线积分”回到之前，再如俩乘积变得特别好积。

示例：

（之后补一下）

场景： 被积函数为两种不同类型函数乘积

步骤：

1. 先找 u ，余下 dv，凑微分凑 v

   • 原则性方法：

     • 求导不变的函数不能做 \(u\) ，例如三角函数、指数函数

     • 求导改变的，做 \(u\) 很好，例如对数函数、反三角函数

       原理：RHS要 \(du = u'dx\)，这里涉及 \(u'\)，变成幂很好

     • 不好凑微分的做 \(u\)

     • 单一函数积分可以看作 \(1 * 它\)，则 x 是 v

       • 零碎方法
     • 有 \(\arcsin\) 一定要用分步；单一 \(\arcsin\) 则用上面一个：\(1 * \arcsin\) 2. 用公式 3. 使用一次之后，含积分的部分不好求：考虑使用几次分部积分并 凑出原式

   此种方法还适用于涉及 n 的

   关键是怎样通过代数变换凑出来！

例题：

\(\int \sec^1 x \, dx\) 公式

\(\int \sec^2 x \, dx\) 公式

\(\int \sec^3 x \, dx\) 分步

\(\int \sec^4 x \, dx\) \({(1 + \tan^2)}^2\)

\(\int \sec^5 x \, dx\)

特殊类型函数的积分¶

有理函数¶

假分式 = 真分式 + 幂函数

真分式的因式分解：代数学基本定理

任意一个次数 >= 3 的多项式均可因式分解；检查是否分解到不能分解

• 配方等方法因式分解

  例：\(x^4 - 1\)

分解方法：

• 观察法（首选）

• 待定系数法：对应项系数相等

• 赋值法（对每个x都成立所以可）：通分，看分子

\(\int \frac1{1 + x^4}\, dx\)

\(e^x\) 的有理函数：上下同乘 \(e^x\) ，上面的 \(e^x\) 和 \(dx\) 凑微分，再换元

2次 —— 配方

有 $ \int e^{kx}$ 换元

\(\int \frac {x^2 + x - 3}{{(x - 1)}^{10}} \, dx\)

方法1是上下同*x^9

三角函数积分¶

\(\int \tan^2 x \, dx\) 换 tan = sec^2 - 1

化为单因式！

法三：t = tanx

利用：导数

特殊类型的三角函数积分

某些无理函数¶

被积函数含有n次根号，根号内是两个1次多项式的商；内部是1词多项式的乘积：提出来，化商

有些初等函数的原函数不一定是初等函数

分段函数积分¶

• 分区间求，每个区间上的C均不一样，\(C_1, C_2, C_3\)
• 分界点：可导必连续，左右极限存在且相等，用1个C表示其他的

抽象函数积分¶

带着抽象函数符号 \(f\) 用分部积分法。千万不能想着用特别基础的知识直接求出来结果。

应该按照函数类型

不能求不定积分的函数：\(\frac{\sin x}x\)，\(e^{x^2}\)

不能积的函数：对它求导：可以通过分部积分法达到该目的。

定积分¶

方法¶

零碎方法

• 不会积分：先求导；在题目中创造导数

• 有些函数的原函数不可求，则一定可以和别的部分抵消，代数变换、换元……

  • \(\frac{\sin x}{x}\)

  • \(e^{- x^2}\)

简化计算的方法

• 先看积分区间关于原点对称，再看被积函数是否具有奇偶性，看被积函数的一部分有没有奇偶性

  公式：\(\int_{-a}^{a} f(x) \,{\rm d}x = \int_{0}^{a}[f(x) + f(-x)] \,{\rm d}x\)

  偶函数：区间减半，值*2；奇函数：0

  证明：用换元法统一积分区间 \(t = -x\)

• ？40min……

  • 从区间中点将积分区间分段

  • 换元法统一积分区间，换元法看题目，原则是换完之后用起来已知条件

    • 周期函数：平移
    • 奇偶函数：对称

  • 利用线性性质，消为0

常见函数/结构¶

• \(\frac1{1 + e^{-x}}\)：\(g(x) + g(-x) = g(x)g(-x) = 1\)

  

• 三角函数

  • 统一三角函数名：\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)
  • 重要公式： $$ \int_0^{{\fracπ2}\sin}x = \int_0}x\, {\rm d^{{\fracπ2}\cos}x = \left{ \begin{aligned} &\frac{n - 1}{n} \frac{n - 3}{n - 2} \cdots \frac23 1 ，n为奇数\ &\frac{n - 1}{n} \frac{n - 3}{n - 2} \cdots \frac12 \fracπ2 ，n为偶数\ \end{aligned} \right. $$ }x\, {\rm d\(\(\int_0^{2π} = 2\int_0^{π} = 4\int_0^{\fracπ2}\)\)

方法： 换元法 \(t = π - x\)

辨识： 积分区间 \((0, π)\) ，被积函数是 \(x 和 \sin x\) 的乘积。如果不满足：分部积分

• 一奇一偶函数之和，积分区间关于原点对称

• \(\ \to 三角换元\)

  • 挑角度：象限：一 一四 一二 一二三四

  

两种不同类型函数，且必须得是sin的函数，cos不行

变上/下限积分

微积分基本定理

的极限：洛必达

注意条件！：在那个上下中

应用

微元法