级数

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题型¶

1. 判断正项级数敛散性
2. 判断一般级数敛散性
3. 求幂级数的收敛区间/收敛域/和函数
4. 函数展开成幂级数
5. 数项级数求和
6. 利用函数在某点处的展开求函数高阶导数
   • 第二学期考高阶导数一定用幂级数

导言¶

一个问题：无限个数相加是否是一个数

定义¶

1. 数列的相加得到一个形式上的和（两个省略号），记作 \(\sum ^\infty_{n = 1} u_n\)

2. \(u_n\) 一般项

3. 部分和 \(S_n\)，有 \(\sum^ \infty _{n = 1} u_n = \lim_{n \to \infty} S_n\)，其等于 \(S\) （\(S\) 得是实实在在一个数）则级数收敛，不存在则级数发散

重要级数¶

等比/几何级数¶

• \(|q| \lt 1\)，收敛，\(\sum^ \infty _{n = 1} aq^{n-1} = \frac a{1-q}\)
• \(|q| \ge 1\)，发散
  • \(|q| \gt 1\)，无穷
  • \(|q| = 1\)，无穷
  • \(|q| = -1\)，n为奇/偶的子数列极限存在但不相等

p 级数¶

\(\sum ^\infty _{n=1} \frac1{n^p}\)

• \(|q| \le 1\)，发散

• \(|q| \gt 1\)，收敛

收敛级数的性质¶

线性运算法则¶

“改变性质”¶

改变/删除/添加有限项，敛散性不变，和肯定变了

类似数列极限

加括号¶

收敛级数，任意添加括号，依然收敛，和不变，但是是不一样的级数了。

反之不成立，如果是正项级数，反之成立。

!!! info+ "原理"

1. **原级数收敛性**：设原级数 \(\sum a_n\) 收敛于和 \(S\)，即部分和 \(S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N\) 满足 \(\lim_{N \to \infty} S_N = S\)。

2. **添加括号后的新级数**：任意添加括号后，新级数为 \(\sum b_k\)，其中每个 \(b_k\) 是原级数中若干连续项的和（如 \(b_1 = a_1 + a_2\)，\(b_2 = a_3 + a_4 + a_5\) 等）。新级数的部分和 \(T_m = b_1 + b_2 + \cdots + b_m\) 对应原级数的某个部分和 \(S_{N_m}\)（\(N_m\) 为前 \(m\) 个括号包含的原项数之和）。

3. **子序列收敛性**：由于原级数收敛，其部分和数列 \(\{S_N\}\) 的任意子序列（如 \(\{S_{N_m}\}\)）均收敛到同一极限 \(S\)。因此，新级数的部分和 \(T_m = S_{N_m}\) 也收敛于 \(S\)。

!!! info+ "为什么是子序列"

    子列：从原数列取出一部分项生成的数列。现在这个加括号之后，和数列就变成跳跃的那种，原和数列中间有些项就没有了因为有括号变成新的 \(T_m = b_1 + b_2 + \cdots + b_m\) 了

项趋于零¶

若级数收敛，则通项的极限 = 0；反之不一定成立，即通项极限 = 0不能推出级数收敛

逆否命题成立：通项极限不为0（存在且不为0 / 不存在）则级数发散

正项级数收敛性的判别法¶

思路总结¶

思考步骤：

1. 一般项和后一项有公因式：比值判别法
2. 一般项有n次方：根值判别法
3. 比较判别法的极限形式
4. 比较判别法
5. 单调有界
6. 线性运算法则
7. 一般项极限不为0，发散
8. 定义
9. 积分判别法
10. 柯西收敛准则

单调有界¶

定理：正项级数的前n项和有上界 \(\Leftrightarrow\) 收敛

比较判别法¶

正项级数，大于某个确定的正整数时每项（原本是每项都大，事实上改变前k项不改变敛散性）大的收敛则每项小的收敛，小的发散则大的发散；反之不成立

高中不等式

转化成正项级数 + 线性运算法则

比较判别法极限形式¶

• 证明：极限定义，将绝对值展开成两边

\(\sum _{n=1}^ \infty (\sqrt [n] n - 1)\)

比值判别法¶

\(n \to \infty\) 时后一项比前一项：

• 小：级数收敛
• 大：发散
• 相等：失效

根值判别法¶

\(n \to \infty\) 时一般项的n次方根

• 小于1：收敛
• 大于1：发散
• 等于1：失效

积分判别法¶

\(u(n) = f(n), f(n)在[1, \infty ] 非负单调连续，\int _1^ \infty f(x) dx 与 \sum_1 ^ \infty u_n 同收同发\)

其中，将 \([1, \infty]\) 改为 \([k, \infty]\) 亦可。

\(\frac{(n + 1)^n}{n^n}\) 极限是 \(e\)

例题¶

\(\sum _{n = 1} ^ \infty\frac{\ln n}n\) 发散：因为 \(n > 3\) 时 \(\ln n > ln3 > 1\)

绝对收敛¶

\(\sum _{n = 2} ^ \infty |u_n| 收敛则 \sum _{n = 2} ^ \infty u_n 收敛\)

证明：利用 \(0 < a + |a| < 2a\)

级数的敛散性情况

• 绝对收敛：绝对值收敛，原级数收敛
• 条件收敛：绝对值发散，原级数收敛
• 发散

一般级数敛散性判断¶

方法总结¶

1. 公因式：绝对值比值
2. n次幂：根值
3. 算绝对值：
   • 收敛：原来的收敛
   • 发散：如果是交错级数，用莱布尼茨判别法，若收敛则原级数条件收敛
4. 线性运算
5. 线性运算
6. 定义

绝对值的比值判别法¶

后一项的绝对值比前一项的绝对值：

• 小：绝对收敛
• 大：发散
• 相等：失效

绝对值的根值判别法¶

基本同上 ~

交错级数的莱布尼茨判别法¶

幂级数¶

函数项级数：每项都是函数，即 \(u_(x) + u_(x) + u_(x) + \cdots + u_n(x) + \cdots = \sum _{n = 1}^ \infty u_n(x)\)。我们关注的是在 \(x\)取何值时这个和式收敛 / 发散

使得和收敛的 \(x_0\) 成为收敛点，收敛点的集合为收敛域

和函数是 \(x\) 的函数，记作 \(S(x)\)，求和函数的目的是可以直接带入 \(x\) 得到某点的级数和（用于数项级数）

特别的，当每一项都是幂，即通项 \(a_n(x - x_0)^n\) 时，称为幂级数，又称为泰勒级数，\(x_0 = 0\) 称为麦克劳林级数，

这里先用绝对值的比值判别法

后一项与前一项比完之后剩下：\(|x - x_0|, \frac{a_n}{a_{n + 1}}\)，设 \(\lim _{n \to \infty}\frac{|a_n|}{|a_{n + 1}|} = R\)，因为比值判别法，将得到当式子与 1 比较，得到：

• \(|x - x_0| < R\) 绝对收敛
• \(|x - x_0| > R\) 发散
• \(|x - x_0| = R\) 代入x的值用判断数项级数方法做

另，当级数有n次幂，则用根值判别法：\(R = \lim_{n \to \infty} \frac 1{\sqrt[n]{|a_n|}}\)

\(R = 0\) or \(R = \infty\) 同样成立

R 称为收敛半径，\((x_0 - R, x_0 + R)\) 为收敛区间

这样的也是标准的：通过提出一个什么东西可以化标准则他就是标准的。因为后面的标准部分 \(×\) 前面的常数不改变敛散性

收敛幂级数的性质¶

线性和

收敛半径：

• 两个收敛半径不一样：则幂级数的收敛半径是原来两个的最小值
• 收敛半径一样：和的收敛半径小于等于原来的

乘法

除法

乘过去变成乘法

收敛区间上收敛幂级数的性质¶

性质一

极限运算和求和符号可以交换

（\(S(x)\) 在收敛区间内连续）

性质二：逐项可导

导数的和 = 和的导数

在收敛区间上，幂级数和函数的导数等于逐项导数的和，则该和函数任意有限次可导，且每次导数的收敛半径不变，且k次导之后 \(\sum\) 的下界变成了 \(k\) 因为每次第一项为常数导数为0

性质三：逐项可积

无限项的积分的和 = 和的积分

在收敛区间上，幂级数和函数的积分等于逐项积分的和，则该和函数任意有限次可积，且每次积分的收敛半径不变

求幂级数和函数/收敛区间/收敛域¶

两个重要的幂级数求和

\(令 x^2 = y\)

函数展开成幂级数¶

泰勒公式直接展开¶

定理：余项为0 \(\Leftrightarrow\) 泰勒展开即为对应f(x)在\(x_0\)处级数展开

步骤

1. 求 \(f^{(n)}(x)\) 并代入 \(x = x_0\)
2. 写成泰勒级数
3. 求收敛区间
4. 验证在收敛区间内哪一点 \(\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0\)，一般在收敛区间内都有该式成立，那么就需要 想办法证明余项极限为0
5. 

一般用麦克劳林展开式：\(x = x_0\)

误差分析：

• 找到误差：n+1 项之后的所有项
• 学会放缩：随便放缩

这个注意首项单独考虑

对于一个展开式，有如下等式：

即唯一性定理，也可以用图一二式求某一点的n阶导数

不要拆开分别算：因为合并 \(\sum\) 很难

求解函数某点处的n阶导数¶

利用公式：

一般情况下 \(x_0 = 0\)：即麦克劳林级数

函数的傅里叶展开¶

引入¶

关于周期函数

一个周期为 \(2l\) 的周期函数是否可以表示为无限个简单的周期函数之和

研究三角函数系：

该三角函数系中：两个不同的函数的乘积在 \(-l\) 到 \(l\) 上积分为0，不同的函数的乘积在 \(-l\) 到 \(l\) 上积分大于0：即正交向量组，线性无关，是线性空间中一组基；乘起来积分是线代里定义的内积

1/3：奇函数；2：带公式；4/5：积化和差

将周期函数展开成傅里叶级数并求其和函数¶

求解思想：利用正交性，求 \(a_m\) 就乘 \(a_m\) 对应的那个三角函数，将其变成非零而其他都变0

!!! info "上面的定理用人话说就是"

函数的傅里叶级数的和函数在x点的值等于原来函数在该点左右极限的平均值，如果在那个点连续，当然等于那个点的函数值

有限区间上函数的傅里叶展开¶

利用延拓的思想将部分区间上的图像拓展成周期函数

实际上，在 \([-l, l)\) 上均可换成小 \(f\)，这个区间外部的和用 \(S(x)\)，这是一个周期函数

利用傅里叶级数求数项级数和¶

、

在半区间上将函数展成正弦级数/余弦级数¶

实际上，那个级数是大 \(F\) 的展开，但是在 \((0, l)\) 区间内 \(F = f\)

求其他区间上 \(S(x)\)

余弦展开同理