Series

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概念¶

定义: 是一个表达式, 无穷多个数相加(可相同or不相同)

无穷多个数是否都可以相加 ?

\[ S = 1 + 2 + 3 + \dots > 2 + 4 + 6 + \dots = 2(1 + 2 + 3 + \dots) = 2S\]

\[ 得 S < 0\]

级数的收敛和发散¶

定义部分和数列 ($S_k$为第一项加到k项), $ lim_{n \to \infty}S_n = S $, 则级数收敛; 若没有极限, 则发散

求级数和其实没用, 核心是判断收敛/发散

等比级数/几何级数

$ |q| < 1 时, \Sigma = \frac a{1 - q}$

$ |q| \ge 1 时, 几何级数发散$

$q = -1, 无极限，摆动的$

有界数列但没有极限: 证明用归结原理,用"有界数列有极限等价于子列都有极限且相等", 找奇和偶，极限不等

应用: 转化为等比级数来求值

p-级数

\[\Sigma^\infty_{n = 1} \frac1{n^p} = 1 + \frac 1{2^p} + \frac 1{3^p} + \dots , p为常数\]

\[当 p \le 1 时, 发散; p \gt 1 时, 收敛\]

思想:

构造积分, 统一被积分函数(形式相同, 变 $x$)

构造积分法

单调有界准则证明有极限

应用:

其他级数和p-级数比较, 判别收敛和发散
级数敛散性判别准则 = 级数收敛发散的定义 + 数列收敛发散的判别准则

级数的性质¶

改变有限项, 不影响敛散性
- 证明: 去掉前k项, 考虑原来和剩下两个级数, 两个的部分和只差前面k项的和(是一个常数)
线性性质: 两个收敛级数的线性和收敛, 收敛和发散组合是发散, 发散和发散组合不确定
- 证明: 分配律结合律 + 极限运算法则(组合的极限 = 极限的组合, 且两个极限都存在)
- 第二个: 反证法: 用"$ a = (a + b) - b $"
- 类似数列加减
- 推论: 分配律(同乘非零常数不改变敛散性)
  - 证明: 两个部分和只差一个常数倍数
- 应用: 用简单级数的敛散性判断复杂级数的敛散性
结合律: 收敛级数中添加任意个括号, 所得的新级数也收敛, 和不变; 但是发散级数不对了
- 证明: $B_n 是 A_n的子数列, 所以收敛$
交换律: 不满足, 即收敛级数可以交换出发散级数, 交换之后级数的和是多少都可以做到, 一般不研究

Warning

无穷多相加和有限项不一样

绝对收敛则可调整顺序

必要条件: 如果级数收敛, 则$lim_{n \to \infty}a_n = 0$
- 推论: 一般项不是0(没有极限 or 有极限但不是0), 则发散
- 注意: 必要条件! 一般项为0, 可能收敛可能发散(反例: p-级数, p > 0 一般项全是0 )
- 应用: 一般项不是0则发散, 判断敛散性
图片!

正项级数收敛性判别¶

正项级数: 全正 / 某一项后面非负即可(因为改变前面有限项不改变敛散性)

(充要)部分和有上界
- 证明: 单调有界, 正项级数一定单调增(因为全正数)
- 应用: 放缩部分和表达式, 不用求具体表达式

Info

正项级数一定收敛 or 发散, 不会振动

比较判别法: 再找一个级数, 一般项比收敛的小则收敛, 一般项比发散的大则发散
- 证明: 定义
- 应用: 先猜敛散性, 再根据目标构造"另一个"(n很大时他跟啥差不多): 大胆放缩, 有时也用p-级数
极限形式比较判别法: 两个正项级数,看一般项: $lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = l$
- 证明: 用极限定义:极限 -> 在邻域, 用上一条
- 理解: 正常数: 同阶无穷量, 故相同; 为0: 上小下大, 用上一条; 无穷: 上大下小, 用上一条
- 应用: 与比较判别法一样, 只不过算极限简单
- 局限: 两个数比无极限则该方法无法判断(不是方法不对), 用比较判别法
方法

估计方法: - n趋于无穷大时候的等价无穷大(等价无穷小), 变幂函数估计 - 最初判断敛散性: 看n无穷大一般项是否为0

放缩方法: - 常数之类直接扔 - 将大的分出一部分把小的抵掉, 另一部分够大 - 分子分母可以分别变化 - 正弦: 看清内部的趋势, 再确定怎样放缩 - 对数: (如果可以)将内部变成$(1 + t)$再放缩 - 根式: 考虑分母有理化, 再将 $\sqrt{n + 1} 变成 \sqrt{n}$

Warning

递推公式: 单调有界 + 定义
比值判别法:
- 应用: 一般项是复杂分式, 很多因子相乘
根值判别法
- 应用: 一般项的指数有 n
- 关系: 根值不好用那么比值也不行

使用顺序

一般项是否为0 --> 比值/根值判别法 --> 比较判别法的极限形式 --> 比较判别法 --> 一般项是否有上界 --> 定义法

补充公式：

\[n充分大，n! = \sqrt{2 \pi n}(\frac ne)^n\]

\[\frac{(2n)!!}{(2n - 1)!!} = c \sqrt n\]

双阶乘：两个叹号，表示隔一个乘

\[\prod_{n = 1}^\infty(1 - \frac1{(2n)^2}) = \frac2 \pi\]

\[1 + \frac12 + \frac13 + \dots + \frac1n = \ln n + \gamma + o(1)\]

$\gamma$ 为欧拉常数

积分判别法

绝对值的应用

数列绝对值的极限 $\ne$ 0则数列极限 $\ne$ 0

方法

涉及极限，首先应该写出属于领域的不等式

例题¶

随便放缩：大的直接拆出一部分将小的消掉，将 $n$ 看成无穷大之后再放缩

$(-1)^n$ 可以考虑加绝对值，绝对值可以考虑左右界放缩，用夹逼，这个与取整函数很类似

$\sin$ 可以考虑等价无穷量将其搞掉，即放缩成幂

方法

首先猜想其敛散性: 一般项趋于0不代表收敛, 当然, 如果猜错了, 朝着目标继续

第一步: 实际得分开 p 的范围算

一般项级数敛散性判别¶

交错级数¶

从敛散性来看, 从后面有限项开始交错即成为交错级数

莱布尼茨判别法

除符号外单调递减
趋向0

关键点：首先是交错级数，再证明两个条件

单调递减：
- 单调性，导数

交错p-级数：

绝对收敛/条件收敛¶

定义：一般项加绝对值之后（变成正项级数）收敛则称绝对收敛；收敛但不绝对收敛称条件收敛

正项级数没有绝对收敛

定理：绝对收敛的级数必收敛

证明：
应用：判断一般项级数的敛散性：若其绝对收敛（正项级数的判别法很多）则其收敛

比值判别法&根值判别法

证明：
- $\gt 1$: 一般项不趋于0，极限定义证明

Info

一般项级数只没有比较判别法

证明（不）绝对收敛

直接是正项级数判别即可

后面几个题做一下

一般出题：交错级数，条件收敛

一般思路：判断不是绝对收敛，再用莱布尼茨判别法

函数级数¶

幂级数¶

收敛区间 $\ne$ 收敛域，二者差两个端点，其敛散性得单独考虑

收敛区间完全由收敛半径决定，一定是一个开区间
求收敛域还得验证端点值代入是否收敛

步骤:

比值/根值求出
其 $＞1$ $＜1$ 列式求出 $x$ 范围

幂级数的导数/求和¶

幂级数导数仍然是幂级数

导数的收敛半径与原函数一样, 收敛域可能变: 看端点

方法

里面(分子上/分母上)的一个含 $n$ 因子不好处理, 写成积分(分母上)/导数(分子上)的样子, 平分项: 先处理一个再另一个, 按需求补 $x$
- 补x: 目的是可以求导 / 积分
利用在收敛半径之内, 幂级数求和和积分可以互换, 先求里面的和, 里面变成一个可求和的函数, 例如等比级数, 再求积分/导数
- 积分区间: $x_0$ 到 $x$¶
通过连续性补出端点值(直接带入)
限定区间: 保证落在区间中才可以用导数/积分与求和的互换
$(x - x_0)$ 的幂级数: 可以换元