知识体系

约 2473 个字 3 张图片预计阅读时间 8 分钟

Welcome to the world of Caculus!

前置知识¶

三角/反三角函数¶

\[ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} \]

\[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \]

\[ \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 \]

\[ \csc^2\theta - \cot^2\theta = 1 \]

极限¶

动态的，动态的语言刻画

有极限 == 收敛

定义¶

数列
- 内容：$ε-N$（$|a_n - a| < ε$）
- 题型：用定义证明核心：求N
函数
- 内容：$ε-δ$
- 分类：6个：$x_0$(双侧，两个单侧)，无穷大（正负两个，一个无穷大）
注意：
- 绝对值
- “任意，总存在，使得”助记

背一遍几个定义

数列函数

上册P16

上册P33

性质¶

直观上了解认识，跟自己的做题联系

唯一性¶

数列/函数
- 内容：极限存在则唯一

有界性¶

作用：用于放缩
数列
- 内容：收敛数列必有界（有界：$|a_n| <= M$）
- 证明：定义 + 前面的用max函数
- 推论：若无界，则发散
  - 证明：收敛数列有有界性，逆否命题真
- 关联：有界数列不一定收敛 —— 单调有界准则
函数
- 内容：$\mathring{U}(x_0)$ 有界

保不等式性¶

数列
- 内容：俩收敛数列极限小的那个n充分大时项也小
- 证明：
  1. max
  2. 基本全在邻域内
  3. ε = 半差值（两极限值的半差值）
函数
- 内容：$\mathring{U}(x_0)$ 可比

保号性¶

数列
- 内容：极限大于0，则存在小于极限大于0常数η，n充分大时项都大于η
- 地位：保不等式性推论
- 证明：$b_n$ = η
函数
- 内容：$\mathring{U}(x_0)$ 局部保号

不等式性质¶

数列
- 内容：俩收敛数列n充分大时项都大or大于等于的那个极限大于等于（注意有没有等号）
- 证明：反证法，用保不等式性
函数
- 内容：$\mathring{U}(x_0)$ ，函数值和极限都是 $\geq$

四则运算¶

数列
- 条件：
  1. 俩数列极限存在，四则运算后极限也存在
  2. 有限项
极限和很多运算可交换
除法：分母为0不行
函数：复合
- 作用：变量代替法
- 公式： $\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim_{u \to u_0} g(u) = A$: when $x \to x_0$, $u = f(x) \to u_0$

判别法则¶

单调有界：充分
- 数列：
  - 内容：单调有界数列必有极限
- 函数：
  - 内容：单侧单调有界函数必有单侧极限
Cauchy收敛：充要
- 内容：两值之差小于ε
夹逼定理
- 内容：俩收敛（有极限）数列/函数极限都为a，n充分大都有$c_n$在他俩中间，则$c_n$收敛于a
- 证明：定义 + 取绝对值
海涅定理：充要
- 内容：$x_0$ 处函数极限存在 $<=>$ 任意以 $x_0$ 为极限且含于 $\mathring{U}(x_0)$ 的数列${x_n}$ , $f(x_n)$极限存在且相等
- 图解海涅定理
函数极限不存在：充要
- $f(x_n)$ 极限不相等 $\to$ 常用
- 有一个 $f(x_n)$ 极限不存在

无穷小与无穷大¶

有界量与无界量¶

邻域！

有界：邻域内有界

无界：在 $\textcolor{red}x \textcolor{red}\to \textcolor{red}{x_0}$ 时是无界量：任意区间，任意M，存在$x'$

无穷小阶的比较¶

等价无穷小
thm : x ~ y <=> x = y + o(x)
本质：忽略高阶小量
加减不能换 —— 看阶数变不变：看泰勒

无穷大也有阶的比较，任意东西都有

函数¶

单调性¶

别忘了定义

连续性¶

定义¶

极限值 = 函数值
$ε-δ$语言,$|x - x_0|$, $|f(x) - f(x_0)$
$\lim_{Δx \to 0}{Δy} = 0$

判定：充要¶

$x_0$ 处左连续&右连续 <=> 连续

性质¶

重要性质：连续意义下，极限运算符和f可交换

局部性质¶

连续函数的局部性质：同极限性质

复合函数的连续性：某点内连续，外对应函数值处连续，则复合函数在该点连续

推论：内某点处极限对应的外的那一点连续，复合函数在该点连续

闭区间上连续函数的性质¶

闭区间连续，则必有最大最小值、上下界

初等函数、基本初等函数定义域上都连续：利用极限符号与f可交换

凹凸性与拐点¶

凹凸性
- 定义
- 注意：某段区间内，局部性质
- 判定定理：二阶导
- 证明：用到了拉格朗日型余项的泰勒公式
拐点
- 定义
- 注意
- 判定定理——必要条件
- 拐点嫌疑点
  - 二阶导＝0
  - 二阶不可导点
- 判定定理——充分条件

图像描绘¶

定义域、与坐标轴交点
奇偶性、周期性
单调区间+极值凹凸区间+拐点表格法，可分可合
渐近线有定义，求值；没定义，求单侧极限定义域分段，一个一个看
1. 定义域闭区间（则无渐近线），则求f(a), f(b), 用实心点画出端点
2. 定义域开区间，则求左端点的右极限，右端点的左极限
  1. 极限常数，空心圆点
  2. 极限无穷，x=a铅直渐近线 24‘解释
3. 无穷区间
  1. 求单侧极限
    1. 极限存在是A，y=A水平渐近线
    2. 极限无穷，求斜渐近线 ![[Pasted image 20241107083323.png]]
      1. 公式：可求出k，b则有斜渐近线 $k = lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ $b = lim_{x \to \infty}[f(x) - kx]$
      2. 证明
        
        假设有斜渐近线
        
        点到直线距离，极限的定义与求解
用辅助点：知x求y值，定位

曲率¶

定义
- 平均曲率
- 某点处曲率
公式
- $k = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{\frac32}}$
曲率圆
- 现推，解方程组 ![[Pasted image 20241107093111.png]]
杂项
- 直线就是R = $\infty$的圆，直线与任意一个圆上点的个数相同

导数¶

定义¶

导数 = 增量比的极限

导数存在：可导

左右导数¶

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的左邻域 $U_-(x_0)$ 内有定义，若极限

\[ \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

存在，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 左可导，此极限值称为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的左导数，记作 $f'_{-}(x_0)$。

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的右邻域 $U_+(x_0)$ 内有定义，若极限

\[ \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

存在，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 右可导，此极限值称为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的右导数，记作 $f'_{+}(x_0)$。

导数存在的充要条件：左右导数存在且相等

可导与连续¶

可导必连续，连续不一定可导

公式¶

1 的导数是 0

$arctanx$ 导数是 $\frac1{1+x^2}$ ，不是1 + $x^2$

高阶导数¶

\[ (u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} \]
\[ (cu)^{(n)} = c u^{(n)}, \ \text{其中} \ c \ \text{为常数} \]
莱布尼茨公式 $$ (uv)^{(n)} = C_n^0 u^{(n)}v + C_n^1 u^{(n-1)}v + \cdots + C_n^k u^{(n-k)}v + \cdots + C_n^n u^{(0)}v $$

\[ = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)}, \ \text{其中} \ v^{(0)} = v, \ u^{(0)} = u. \]

中值定理¶

极值与最值¶

极值¶

极值点
- 定义：邻域内最大or最小
- 注意：极值不是用导数 = 0 定义的！不可导点也可以成为极值点
- 极值怀疑点：驻点 + 导数不存在点
费马定理
- 若：取到极值，导数存在，则：导数为零
判定
- 第一充分条件
  - 条件：邻域内连续，去心邻域内可导
  - 判定：$x_0$两侧异号(极大先正后负；极小……)
  - 证明：单调性 + 极值定义
- 第二充分条件
  - 条件：驻点处二阶可导
  - 判定：
    - 二阶导大于零：极小值
    - 二阶导小于零：极大值
    - （二阶导等于零：另谋他法）
  - 证明：[[Knowledge Frame of Caculus#^68518e|函数极限保号性]]

最值¶

最值怀疑点：区间端点 + 极值怀疑点（驻点 + 导数不存在点） ^a591e9
若函数在区间（任何类型的区间都行）上存在唯一的极值点，则其为相应的最值点：无需与端点函数值比较 ![[Pasted image 20241107002631.png]]

三个中值定理¶

关系¶

Cauchy ——g(x) = x——> Lagrange ——f(a) = f(b)——> Rolle

罗尔定理¶

![[IMG_4006.png]]

条件¶

3个

定理证明¶

在最大值or最小值处：最大值、最小值在区间内

理解¶

等高段函数中间必有水平切线

应用¶

题型一：一阶常微分方程等式证明
- 识别
  - 求证方程为一阶常微分方程等式
  - 所给函数的条件中有上面一张图片中条件(1)和(2)，再给出一个函数值f(n) = k (是用来推条件(3)的：原函数)
- 方法：
  - 求证的式子变形 ——> RHS = 0
  - 构造辅助函数（积分找原函数…）
  - 对辅助函数用罗尔
- 例题： ![[IMG_4008.png]]![[IMG_4010.png]]

拉格朗日中值定理¶

条件¶

2个

定理证明¶

用罗尔：同用罗尔解题型一的方法，辅助函数就构造最简单的那个就行

理解¶

存在切线斜率 = 割线斜率

定理变型¶

存在ξ， [f(a) - f(b)] / (a - b) = f '(ξ) f($x_0$ + Δ$x$) - f($x_0$) = f '($x_0$ + θΔ$x$)Δ$x$ (0 < θ < 1 )

应用¶

题型一：不等式证明问题
- 识别：
  - 类型一：函数值相减，变量值相减
  - 类型二：没有相减：减0 or 加a减a
- 方法：
  1. 选定区间
  2. 构造形式
- 例题： ![[Pasted image 20241105085005.png]] 遗失部分：$f''(x) > 0, f(0) = 0$

柯西中值定理¶

![[IMG_20241029_102629.jpg]]

条件¶

3个

理解¶

讨论函数比和导数比

应用¶

识别
- 有差，但没有$x_1$ - $x_2$，有俩函数值的差

例题¶

![[IMG_20241029_104215.jpg]]

泰勒定理¶

引入
- 多项式函数表示为$(x-x_0)$的幂次和，求系数：求n阶导，分别代入$x_0$，得到$(x-x_0)^k$前的系数： $\(a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$\)
- 进一步，将任意函数表示成这样的形式
内容 ![[Pasted image 20241107093357.png]] 1. 拉格朗日 $$ P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)}k $$
证明 ![[Pasted image 20241105150509.png]] ![[Pasted image 20241105150806.png]]![[Pasted image 20241105150842.png]]
变型 ![[Pasted image 20241105151045.png]]
麦克劳林 $$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$

\[ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

\[ \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \]

\[ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad \text{for} \quad |x| < 1 \]

\[ (1+x)^a = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{a}{n} x^n = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots \]

皮亚诺

$\(x —>0$\) ^c8f5ca

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \]

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots +\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1})= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) \]

\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+ o(x^{2n})= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}) \]

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}+ o(x^n)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} + o(x^n) \]

\[ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n+ o(x^n)= \sum_{n=0}^{\infty} x^n + o(x^n) \quad \text{for} \quad |x| < 1 \]

\[ (1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)= \sum_{n=0}^{\infty} \binom{a}{n} x^n + o(x^n) \]

注意！ 1. ![[Pasted image 20241105154803.png]] 2. ![[Pasted image 20241105155156.png]] 3. ![[Pasted image 20241105155302.png]]

不定积分¶

定积分¶

有界函数在有限闭区间上

：定积分是和式的极限

注意：

$λ \to 0$ 不能用 $n \to \infty$ 代替，若分点全取在 $x_0$ 一侧，则不行

知识体系

前置知识¶

三角/反三角函数¶

极限¶

定义¶

性质¶

唯一性¶

有界性¶

保不等式性¶

保号性¶

不等式性质¶

四则运算¶

判别法则¶

无穷小与无穷大¶

有界量与无界量¶

无穷小阶的比较¶

函数¶

单调性¶

连续性¶

定义¶

判定：充要¶

性质¶

局部性质¶

闭区间上连续函数的性质¶

凹凸性与拐点¶

图像描绘¶

曲率¶

导数¶

定义¶

左右导数¶

可导与连续¶

公式¶

高阶导数¶

中值定理¶

极值与最值¶

极值¶

最值¶

三个中值定理¶

关系¶

罗尔定理¶

条件¶

定理证明¶

理解¶

应用¶

拉格朗日中值定理¶

条件¶

定理证明¶

理解¶

定理变型¶

应用¶

柯西中值定理¶

条件¶

理解¶

应用¶

例题¶

泰勒定理¶

不定积分¶

定积分¶

颜色主题调整