多元函数微分学

页首涂鸦¶

引入¶

多元函数，二元函数的性质与多元函数完全一致，与一元函数不同，故拿二元函数为例研究多元函数

多元函数的基本量¶

定义域¶

1. 使得表达式有意义
2. 考虑实际意义

也要在二维坐标系中画出图形，范围看内外

邻域¶

即距离小于一个数的

多元函数的极限¶

定义¶

称为二重极限

可以沿着不同的路径趋于中间那个点，任意路径

性质¶

与一元函数一样的

求解¶

无穷小乘有界啊啊

多元函数的连续性¶

在某点的极限 = 该点处的函数值

初等多元函数 在定义域区域上都连续；初等多元函数就是一个解析式给出的函数（即不是分段函数）

有界闭区域上连续多元函数的性质¶

闭区域定义

包含该区域边界的区域

例如 \(x^2\) 是闭区域因为边界是空集，肯定被包含

性质一：一定能找到最大值和最小值

性质二：值域为 \([最小值，最大值]\)，且有界

性质三：零值点定理：端点函数值乘积小于0则存在零值点

多元函数的偏导数¶

\(\frac{\partial z}{\partial x}\) 这个不代表比值，只是一个记号

本质上是一个一元函数导数

偏导数定义¶

求偏导数的方法¶

偏导数的存在性¶

根本判据：定义法，极限存在就说明存在偏导

必要条件：求偏导再代入对应点，这个方法不能判断偏导数是否存在

在 \((x_0, y_0)\) 处连续和在该处两个偏导数存在是两个毫无关系的东西，谁也不能推出对方

轮换¶

要求：\(x\) 和 \(y\) 地位相同且取值相同

偏导数的几何意义¶

\(f'_x(x_0, y_0)\) 表示曲面A和平面B的交线在点 \((x_0, y_0, z_0)\) 处切线与 \(Ox\) 轴正向夹角的正切值。其中曲面A为 \(z = f(x, y)\)，平面B为 \(y = y_0\)。因为将 \(y\) 看成常数 \(y_0\) 之后也就相当于两面联立。

另一个同理。

多元函数高阶偏导数¶

符号表示

\(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\)

\(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) 先对谁偏导分母上谁就写前面，这个代表先对x偏

其中，“连续”隐含如下条件：

对于初等多元函数，不同顺序的二阶偏导函数，求一个就行

多元函数的全微分¶

\(记 \; o(\Delta x) = \alpha \Delta x\)

可微则偏导均存在,反之不成立. 逆否: 至少有一个偏导数不存在, 则不可微

证明: 用偏导数的定义 \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta _x z}{\Delta x}\), 这时 \(\Delta y = 0\) (因为偏 \(x\))

多元复合函数的偏导数¶

内层不要求可微

因变量对中间变量分别偏导, 中间变量对x偏导, 相乘再相加。一元函数全是求导，多元函数全是偏导

全微分一阶形式不变性¶

即当 \(x = g(s, t), y = h(s, t)\) 时，该式也成立，且此时也有 \(dz = \frac{\partial z}{\partial s} * ds + \frac{\partial z}{\partial t} * dt\)

也就是对一阶全微分，无论是中间变量还是自变量，都可以这样拆开求微分

全微分的四则运算¶

方程确定多元函数的偏导数¶

多元隐函数定义¶

方程确定多元函数的偏导数¶

公式：

方程组确定的多元函数组的偏导数¶

m 个方程 n 个变量 $ \to $ m 个函数，n - m 个自变量，即 m 个 n - m 元函数。谁是自变量谁是因变量看题目所求偏导形式

多元函数的方向导数和梯度¶

方向导数¶

方向导数：沿某一方向函数的变化率

偏导数并不是特殊的方向导数

在某点 对 \(x\) 的偏导 = 沿 \(x\) 轴正向的导数 = \(-\) 沿 \(x\) 轴负向的导数, y z 同理

公式：

• 二元函数 \( f(x, y) \)：

  \[ D_{(u_1, u_2)} f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot u_1 + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot u_2 \]

• 三元函数 \( f(x, y, z) \)：

  \[ D_{(u_1, u_2, u_3)} f(x_0, y_0, z_0) = \frac{\partial f}{\partial x} u_1 + \frac{\partial f}{\partial y} u_2 + \frac{\partial f}{\partial z} u_3 \]

其中，\(u\) 是对应方向上的单位矢量，\(u = (u_1, u_2, u_3, \cdots, u_n) = (\cos \alpha _1, \cos \alpha _2, \cos \alpha _3, \cdots, \cos \alpha _n)\)，\(\alpha _i\) 是该矢量与每个坐标轴正向的夹角

梯度¶

定义：

运算法则：

线性运算法则

换种写法：

多元函数的极值¶

证明方法：转化成一元函数

证明：多元函数的泰勒展开，展开式第一项移项之后整理成二次函数，二次项系数A，一次项系数2B，常数项C，用判别式 + 正负 判断其是否恒成立

多元函数的最值¶

求解方法¶

定理：在有界闭区域上连续，则一定有最大值 & 最小值

• 有界
• 闭区域：包含边界

应用题¶

多元函数的条件极值¶

多元函数条件极值的求解可以通过构造拉格朗日函数来实现。以函数 \( f(x, y) \) 在约束条件 \( g(x, y) = 0 \) 下的极值问题为例，步骤如下：

1. 构造拉格朗日函数：

   \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y) \]

2. 求偏导并解方程组，即求拉格朗日函数的驻点：

   • 参数可以不求，但如果必须求出参数才能得出变量值那就求
   \[ \begin{cases} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \lambda \frac{\partial g}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y} + \lambda \frac{\partial g}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = g(x, y) = 0 \end{cases} \]

   解得 \( (x, y, \lambda) \)，其中 \( (x, y) \) 即为极值怀疑点，再进一步算函数值得到最大值 / 最小值。

例题解析：

例1：求 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) 在约束 \( x + y = 1 \) 下的极值。

• 构造拉格朗日函数：

  \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda (x + y - 1) \]

• 求偏导并解方程组：

  \[ \begin{cases} 2x + \lambda = 0 \\ 2y + \lambda = 0 \\ x + y = 1 \end{cases} \]

  解得 \( x = y = \frac{1}{2} \)，极值为 \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \)，对应 \( f \) 的最小值 \( \frac{1}{2} \)。

结论： 多元函数条件极值的拉格朗日乘数法通过引入乘数 \( \lambda \) 将约束优化问题转化为无约束问题，解方程组得到极值点。拉格朗日乘数的几何意义是目标函数与约束条件的梯度在极值点处共线。

多约束条件